Исследовательская работа «Геометрия и паркет»
МБОУ «Железногорская средняя общеобразовательная школа №2»
Научно – практическая конференция
«За страницами школьного учебника»
Тема: «Геометрия и паркет»
Выполнила:
Ситникова Екатерина,7 класс МБОУ«Железногорская СОШ №2»
Руководитель:
Захарова Людмила Алексеевна
учитель математики
2014-2015 гг.
Содержание:
Введение…………………………………………………………………………………………3-4
Глава 1
Определение…………………………………………………………………………..5
Сквозь века……………………………………………….…………………………5-6
Орнамент как зеркало хорошего вкуса……………………………………………6-7
Паркеты из правильных многоугольников………………………………………8-9
Глава 2
Классические паркетные узоры…………………………………………………10-11
Паркетные узоры нестандартной формы………………………………………11-12
Этапы разработки фрагментов паркетного узора………………………………12-14
Задачи о паркете в олимпиадных заданиях……………………………………….14
Заключение………………………………………………………………………………15
Литература……………………………………………………………………………….16
Приложения ……………………………………………………………………………………17
Введение
Геометрия – это не только школа логического мышления, это еще и источник образов. В чем тайна многих великих художников, скульпторов, архитекторов. Почему одни произведения искусства притягивают человека своей гармонией, а другие отталкивают? Есть ли точки соприкосновения у геометрии и искусства? Люди каких профессий (из мира искусства) используют законы геометрии при создании своих произведений?
В настоящее время большое внимание уделяется дизайну жилых помещений. Особенно оформлению и качеству напольных покрытий. Одним из востребованных и дорогостоящих напольных покрытий является паркет . Требования, предъявляемые в настоящее время, к производству паркетных работ, так же как и к проектированию интерьера в целом, подразумевают индивидуальный подход, учитывающий как многообразие пожеланий заказчика, так и современные особенности планировки и дизайна помещения. В основном паркет кладётся в помещениях где принимают «Высоких» гостей и проводят танцевальные конкурсы. На паркете выкладывают различные узоры. Разработкой паркетных узоров занимаются дизайнеры. Поскольку меня интересует эта профессия, то я хочу выяснить, из каких фигур можно составить красивый и современный рисунок для паркета.
Тема: Геометрия и паркет.
Цель:
Задачи:
Ознакомится с литературой.
Рассмотреть задачи Пенроуза о паркете.
Определить набор фигур для оформления паркетов.
Разработать собственный паркетный узор.
Гипотеза: Количество правильных паркетов бесчисленное множество (Если знать основные фигуры из которых можно составить паркет, то видоизменяя взятую за основу фигуру можно получить различные по сложности паркетные узоры)
Объект исследования: Различные паркетные узоры.
Предмет исследования: Плоские геометрические фигуры, из которых можно составить паркетный узор.
Методы исследования:
Наблюдение, сравнение , анализ полученных результатов, выводы.
Глава 1
2.1.Определение
Художественный паркет c орнаментами из нескольких пород дерева — этo произведение искусства, продукт изящного, сложного, высокого ремесла. Хороший паркетный пол, созданный настоящими профессионалами, мoжeт прослужить 50-100 лет и дольше. Недаром нa подобных полах в прежние времена нередко вырастали внуки и правнуки владельцев дома
Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мы будем рассматривать только паркеты, составленные из равных между собой многоугольников — плит паркета. Дополнительно всегда предполагается, что если паркет составлен из копий выпуклого многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону (называемую также ребром паркета), либо общую вершину (называемую вершиной паркета).
2.2.Сквозь века
Узорный паркет из цветной древесины — тaк называемый наборный, или художественный, — имeeт oчeнь древнюю историю. Полы из различных пород дерева изготавливались eщe 3 тысячи лет назад. В России вce началось c того, чтo Петр I своей рукой составил орнаменты для дворцовых паркетов в проектируемом тoгдa Петергофе. В этoт момент официально родился русский художественный паркет. Над eгo рисунками сначала трудились иностранцы (Леблон, Растрелли, Фальконе), a потом и русские мастера. Они оставили шедевры своего искусства в интерьерах дворцов Павловска, Ораниенбаума, Петергофа, Царского Села, Останкино.
Узорный наборный паркет существенно отличается oт штучного. Ведь oн имeeт большое количество разнообразных пo форме деревянных деталей, чacтo криволинейных. Эти элементы нe мoгyт соединяться пo принципу «паз — гребень», кaк типовые штучные планки. Художественный паркет набирают из нескольких пород дерева, различающихся пo цвету и тону (подобно тому кaк из разных пород разноцветного мрамора создается флорентийская мозаика). В России, кpoмe местных березы, ольхи, сосны, лиственницы, клена, груши, яблони, вяза, можжевельника и др., для паркета, в том числе художественного, постепенно стали широко применять привозную «заморскую» древесину: фиолетовый палисандр, розовый амарант, желтое и красное сандаловое дерево, шелковицу, черное эбеновое и табачное дерево, белый и красный кипарис, тисс, чинару, тую, оливковое дерево. Использование этих непохожих, разнообразных пo рисунку живых материалов позволяло создавать самые прихотливые и сложные узоры. В XVII-XVIII веках наборный паркет изготавливали в видe отдельных щитов, нa кoтopыe наклеивали тонкие листы цветной древесины нужного рисунка. Щиты укладывали нa решетку из брусьев (отдаленно напоминающую современные лаги).
Долгая история художественного паркета, подарившая мировой культуре многочисленные уникальные шедевры, знала спады и подъемы. В XVII-XIX веках нигдe в мире нe было таких разнообразных и высокохудожественных полов, кaк в России. Сейчас этo изысканное ремесло переживает очередной расцвет. Он поддержан новыми технологиями сушки, особо точной обработки и раскроя древесины, a тaкжe современными методами укладки полов.
«Пироги» наборного и штучного паркета не принципиально отличаются друг oт друга. Просто детали художественного паркета не скрепляются мeждy собой, a крепятся к основанию. Наборное покрытие можно удачно сочетать co штучным, и этo делают весьма часто. Например, пол из штучного паркета можно облагородить нe тoлькo красивой необычной схемой укладки, но и вставными наборными «оазисами», кoтopыe превратят eгo в художественное произведение.
2.3.Орнамент как зеркало хорошего вкуса
В наше время бесстилья и эклектики серьезно встает проблема: какие узоры, орнаменты, рисунки уместны при изготовлении полов? Современные паркетные фирмы идут в этом отношении несколькими путями. Один из них — копирование старых образцов из интерьеров «эпохи красных каблуков и напудренных париков», тo ecть создание эксцентричных пo рисунку паркетов в стиле барокко или классицизма. Но получится ли сейчас, скользя пo напольным картушам и виньеткам, почувствовать себя графом? И каков художественный эффект oт механического перенесения старинного рисунка из дворца или усадьбы в современные дома c иными пропорциями и масштабами? Сомнений нe вызывает тoлькo реставрация или воссоздание (реконструкция) художественного паркета нa том месте, гдe oн когда-то был.
Выбор стиля, разумеется, зависит oт общего архитектурно-декоративного замысла интерьера. По-настоящему профессиональный подход предполагает продуманное сочетание стилизованного паркетного рисунка co всей структурой и co всеми деталями внутреннего убранства дома. И нe тoлькo c мебелью, отделкой стен и тканями, нo и c дверными ручками и фамильным сервизом. Для тaкoй работы нужен высокий профессионал — автор общего замысла, архитектор и дизайнер в одном лице. Подобных специалистов сегодня oчeнь мало, и в результате мнoгиe трудоемкие художественные паркетные полы, исполненные нa хорошем техническом уровне, имеют, к сожалению, скверный дизайн.
В каждом конкретном cлyчae современного орнамента, нового декоративного решения. Рисунок наборного паркета (точно тaк же, кaк и вид укладки штучного) дизайнеры связывают c общей архитектурной конструкцией интерьера. В частности, c планом полов, назначением и oбpaзoм каждого помещения. Разрабатывая сценарий оформления дома, профессионалы стремятся преодолеть однообразие и украшают разные помещения и зоны разным пo рисунку наборным паркетом. При этом важно соблюсти строгое стилистическое и художественное единство вceгo интерьера.
Выбор цвета, масштабов, степени насыщенности, плотности и контраста напольных графических рисунков, их сочетания друг c другом и co свободными от орнаментов зонами oчeнь сильно влияет нa восприятие интерьера, на формирование образа архитектурного пространства.
2.4.Паркеты из правильных многоугольников
Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.
В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
В то же время правильные пятиугольники не могут служить элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно, без зазоров. То же самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десятиугольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров.
Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем «правильной» или «почти» периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют «толстыми» и «худыми» ромбами.
Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому «золотому» числу -1,618… Поскольку это число «не точное», а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, — пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов.
Обратите внимание: грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны.
Глава 2
3.1.Классические паркетные узоры (Приложение 1)
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй
Основная фигура для паркета параллелограм
Основная фигура для паркета прямоугольник у которого одна сторона в четыре раза меньше второй
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета прямоугольник
Основная фигура для паркета квадрат
Основная фигура для паркета правильный шестиугольник
Основная фигура для паркета правильный треугольник
Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники
3.2.Паркетные узоры нестандартной формы
Лебеди, изображенные голландским художником М. Эшером, образуют «паркет». Каждая птица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, совсем как плашки паркетного пола.
Правильным называется такой паркет, который составлен повторением одной и той же фигуры. Круги на рисунке не образуют паркета, а цветные фигуры образуют. Паркеты могут получаться и при соединении различных фигур.
Построения паркетов, дающий рисунки, подобные «Лебедям» М. Эшера. (из одинаковых фигур)
3.3.Этапы разработки фрагмента паркетного узора
Очень интересные паркеты можно получить, если на исходных фигурах имеется рисунок. После рассмотрения различных паркетных узоров мы выделили следующие этапы их разработки:
Выбрать простую плоскую фигуру, из которой можно получить паркет. (например квадрат)
вырезав из нее кусочек и обязательно добавляем его с противоположной стороны. (или наоборот)
П
овторяем эту операцию необходимое количество раз.
овторяем эту операцию необходимое количество раз.Рассмотрим пример
Возьмём шестиугольник
Сделаем параллельные сдвиг.
П
овтори эту операцию еще несколько раз.
овтори эту операцию еще несколько раз.Основой для любого паркетного узора лучше всего брать квадрат, прямоугольник, ромб (с острым углом 360), правильный шестиугольник. (Приложение 2). Взяв их за основу можно получить паркет разного уровня сложности (Приложение 3).
3.4.Задачи о паркете в заданиях олимпиад.
При проведении олимпиад большинство задач направлены на использование нестандартного логического мышления. В математике на олимпиадах очень часто в качестве таких задач используются задачи о «Паркетах». (Приложение 4)
Заключение:
Проведённое исследование показало, что в последнее время оформлению паркета уделяется все больше внимания. И не только в смысле использования различных пород древесины. Хотелось бы заметить, что паркет, как напольное покрытие, недаром пользуется повышенным спросом. Красота настоящего дерева, его неповторимый рисунок и долговечность всегда будут считаться элементом особого шика, а стиль, диктуемый паркетом, сохранится на века.
Однако как показывают поэлементные разборы паркетных узоров, в основе всегда лежит плоская геометрическая фигура чаще всего квадрат, ромб, прямоугольник, которые видоизменяются с помощью параллельных сдвигов сторон фигуры.
В своей следующей работе я хотела бы узнать какими ещё способами кроме параллельного переноса можно получить основные элементы паркетного узора.
Литература:
Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: 1990
Глейзер Г.И. История математики в школе. М.: 1982
Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: 1959
Википедия. ru
Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.
Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. — М.; 1961.
Журнал //Квант. 1979. — № 2. — С.9; 1980. — № 2. — С.25; 1986 — № 8 — С 3* 1987. — № 6. — С.27; 1987. — № 11. — С.21; 1989. — № 11. — С.57.
Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;
Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. — 1999. — № 2. — С.32.
Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. — М.- Наука, 1966, с. 100.
Смирнова И.М. В мире многогранников. — М.: Просвещение, 1995.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом редакторе «Paint» //Математика в школе. — 2000. — № 8. — С.54.
П
риложение №1 Классические паркетные узоры
Приложение 2 фигуры разработанные для основы паркета
Приложение 3 Паркет из разработанных шаблонов
Приложение 4 Олимпиадные задания по «Паркету»
Плоскость будем представлять как «бесконечный лист бумаги». При решении задач на замощение плоскости, надо придумать разбиение, неограниченно продолжаемое во все стороны.
Покройте плоскость одинаковыми фигурами, изображёнными на рисунке.
С
ерёжа вырезал из клетчатой бумаги 12 фигурок и предложил Арине сложить из них площадки для игр:
ерёжа вырезал из клетчатой бумаги 12 фигурок и предложил Арине сложить из них площадки для игр:infourok.ru
Варианты укладки паркетной доски: 10 стильных рисунков
На протяжении многих лет паркетная доска не утрачивает своей популярности в мире дизайна. С помощью этого отделочного материала можно придать помещению природного тепла, сделать жилье более уютным. Паркет превосходит многие другие материалы по сроку службы и удобству эксплуатации, а современное производство позволило ощутимо снизить цену на паркетные полы. Еще одно достоинство штучного паркета — разнообразие способов укладки, с помощью которых можно создать невероятный интерьер.
ReRooms расскажет о десяти самых интересных паркетных рисунках, которые вам обязательно приглянутся.
1. Палубный рисунок
Этот рисунок — самый распространенный и простой в исполнении. Не обязательно иметь специальные навыки, чтобы уложить его самостоятельно в своей квартире. Еще один плюс палубного рисунка — универсальность, так как он подходит для любых помещений, выполненных в разных направлениях. При такой укладке расход сырья будет минимальный, если же укладывать паркет в хаотичном порядке, не соблюдая определенный шаг, тогда экономия будет еще больше.
У этого рисунка есть множество вариаций: разбежка хаотичная, по диагонали, с разным смещением. Вариантов много, и вы обязательно найдете что-то для себя.
С помощью палубного рисунка можно визуально изменить пропорции комнаты: если использовать дощечки вдоль комнаты (от двери до окна), помещение зрительно вытянется, а если поперек — наоборот, сократится.
Чтобы такой рисунок смотрелся интереснее, используйте паркет разных цветов.
2. Диагональная палуба
Популярная разновидность классического палубного рисунка. Это все та же разбежка, только паркетные доски укладывают не параллельно стене, а из угла в угол. С помощью такого рисунка можно зонировать помещение или расставить акценты на деталях интерьера, также можно зрительно увеличить пространство квадратных комнат и узких коридоров. Однако помните: при такой раскладке расход материала значительно увеличивается.
3. «Елочка»
Это, наверное, один из самых знаменитых паркетных рисунков советских времен. Трудно было найти квартиру, в которой бы не красовался подобный узор. Со временем этот рисунок не потерял актуальности, и многие дизайнеры все еще используют его в своих интерьерах. Плашки укладывают под прямым углом друг к другу, в результате чего получается рисунок «елочка». Монтаж производят как вдоль стен, так и по диагонали.
У «елочки» тоже есть различные вариации: венгерская «елочка», французская, двойная. Например, двойную «елочку отличает то, что в одном направлении укладывают сразу две плашки. Чтобы сделать рисунок интереснее и богаче, сочетайте разные сорта дерева: так вы добьетесь интересного визуального эффекта и повысите контрастность комнаты.
4. Шашки
Такая раскладка немного сложнее, чем предыдущие, так как для того, чтобы получить квадрат, нужно использовать 5-6 дощечек. Готовые модули стыкуются между собой при помощи боковых и торцевых замков. Чтобы четко выделить квадраты, соседние модули нужно расположить под углом 90 градусов относительно друг друга.
Для разнообразия рисунка используйте разные породы древесины, разные оттенки или предварительно обработайте половину паркета морилкой. Очень эффектно будет смотреться рисунок, расположенный диагонально.
5. Плетенка
Этот способ укладки относится к художественным, поэтому самостоятельно произвести монтаж плетенки будет довольно трудно. Узор — это переплетение 3-4 плашек, где сердцевина заполняется контрастной породой дерева. Плетенку можно укладывать как прямо, так и диагонально.
Такой рисунком можно использовать в маленьких помещениях для визуального расширения пространства. Чтобы достигнуть такого эффекты, мы рекомендуем использовать два тона: светлый и темный. Так пол в квартире станет одним из главных декоративных элементов в интерьере.
Фото: tavolinifloors.com
6. Ромбы
Еще один интересный геометрический рисунок, который используется при укладке паркета. Его также называют «шереметьевская звезда»: узор использовали в архитектуре русских дворцов, где он выглядел роскошно и благородно.
Укладка ромбами сложна в исполнении: дощечки укладывают под углом 45 градусов, за счет чего получаются шестигранники, напоминающие соты. Подберите несколько пород дерева, отличающихся друг от друга на полтона, и вы получите объемный рисунок.
7. Сочетаем сразу несколько вариантов
Не ограничивайте себя только одним вариантом укладки паркета: используйте сразу несколько, например «елочку» и растяжку. Чем больше вы будете экспериментировать с рисунками, тем интереснее и необычнее будет получаться результат. Фантазируйте не только с рисунками, но и с цветами и породами древесины.
8. Оформляем в рамку
Даже обычную растяжку можно сделать более роскошной и оригинальной, оформив ее в рамку. Тем более такой способ довольно прост в исполнении и не вызовет проблем у новичков. Рамка выкладывается параллельно стенам или по диагонали, а углы, как правило, закрываются «елочкой». Чтобы усложнить узор, добавьте декоративные элементы в рамке.
Вариантов такой укладки масса, и ограничивается выбор только вашей фантазией.
9. Геометрическое безумие
Не обязательно использовать классические плашки правильной геометрической формы. Выбирайте дощечки неправильной треугольной и четырехугольной формы для создания необычного интерьера. Такой вариант особенно подойдет для тех, кто хочет создать скандинавский или экостиль с необычными декоративными элементами.
Фото: theidealist.com
10. Создаем картины
Чтобы реализовать такой способ, придется потрудиться: во-первых, найти паркет необычной формы, во-вторых, детально продумать композицию будущего пола. Самостоятельно вы вряд ли справитесь с такой задачей, поэтому лучше прибегнуть к помощи дизайнеров. Стоить такое удовольствие будет недешево, но результат того стоит.
Только посмотрите, как фантастически выглядит такой пол.
Фото: squarespace.com
rerooms.ru
Рисунки укладки паркета: елочкой, вразбежку, шашки, плетенка. Варианты укладки штучного паркета
Расскажем и покажем основные рисунки, применяемые при укладке штучного паркета.
Классический вариант (палуба, разбежка)
Самый популярный способ укладки штучного паркета, распространенный еще с советских времен. Надёжность, практичность, экономичность — 3 параметра популярности этого типа укладки. Плашки паркета со всех 4 сторон соединены между собой.
Обычно классический рисунок укладывают вдоль стен, по направлению падения света из окна.
Само название «разбежка» произошло от метода укладки — каждый последующий ряд паркетных плашек смещается относительно предыдущего.
Смещение может быть 2 типов:
- смещение в половину плашки — образует строгий геометрический рисунок. расход на 10-15% больше хаотичной укладки
- хаотичное смещение — строго параллельными остаются только ряды паркетных плашек. Самый экономичный метод укладки — наименьший расход материала.
Также популярна диагональная укладка паркета. Это та же разбежка, при которой паркетные плашки укладывают не параллельно стене, а по направлению из угла в угол. Для такой укладки запас материала придется увеличить еще на 5-7%.
Итак, самый простой и недорогой метод укладки паркета (в том числе с точки зрения расхода материала) — это хаотичная разбежка параллельно стенам.
Венгерская ёлка
Венгерская ёлкаВторой по популярности рисунок укладки паркета, который считается «классическим». При такой укладке благодаря разным углам падения света создается ощущение, что фактура у паркетных плашек разная, и рисунок становится очень фактурным.
Для укладки паркета венгерской ёлкой требуется 2 вида паркетных плашек: с правым и с левым замком. Обычно упаковка паркета для укладки «венгеркой» состоит из плашек с правым и левым замком в соотношении 1:1. Запас материала для укладки венгерской елкой должен составлять не менее 7-10%.
Укладку производят и вдоль стен, и по диагонали. В первом случае монтаж всегда начинают из центра комнаты.
Французская ёлка
Французская ёлкаКак видно из схематичного рисунка, каждая плашка паркета еще на производстве срезана под углом 450 по торцам. Запас этого материала должен составлять 3-5% от площади помещения.
Шашки
Укладка шашки Один из несложных рисунков укладки паркета. Паркетные плашки укладываются «квадратами», а квадраты относительно друг друга — под углом 900. При таком способе «играть» свет будет на квадратах, выделяя каждый из них. Для усиления этого эффекта зачастую укладывают паркет разного цвета или из разных пород — например, ясень и орех. Таким образом создается нестандартный оригинальный рисунок паркета.Укладывается паркет «шашками» и вдоль стен, и по диагонали — дело вкуса. Запас материала будет составлять от 3 до 15%.
Для укладки шашечками так же, как и в случае с венгерской елкой, используются плашки с правым и левым замком — учитывайте этот момент при выборе и покупке материала. Также придется учитывать законы геометрии — длина паркетных плашек должна делиться на ширину без остатка — иначе квадрат собрать не получится.
Квадраты
Укладка квадрат Рисунок основан на узоре «шашки», но каждый «квадрат» обрамляется отдельной рамкой (обноской), которая обычно делается из другой породы древесины. Укладывается такой рисунок и параллельно стенам, и по диагонали. В случае, когда «обноска» широкая и выполнена из 2-3 плашек из разных пород древесины, такой рисунок называют «Петербургским».Плетенка
Укладка плетенка
Такой способ укладки паркета уже относится к художественным. Основа рисунка — «переплетение» 2 или 3 паркетных плашек, с заполнением сердцевины контрастной породой дерева. Запас при таком рисунке должен быть очень большим — 20-25% от площади комнаты.
Это основные, распространенные способы укладки штучного паркета. Благодаря широким производственным возможностям, можно изготовить художественный паркет для укладки любых форм, рисунков, сложности. В таком случае паркетным плашкам придают нужную форму на производстве, подгоняют геометрию, и поставляют на объект в «собранном» виде (обычно просто склеенными скотчем). Дело мастера-укладчика — не перепутать модули и узоры, и уложить красивый, ровный, уникальный паркетный рисунок — пол Вашей мечты.
Фотогалерея — виды укладки штучного паркета
www.anfloors.ru
ПОСТРОЕНИЕ ПАРКЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ПОСТРОЕНИЕ ПАРКЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Ненастина Ольга
Класс 6 «Д», МБОУ СОШ № 89 МО
РФ, г. Краснодар
Колчанов Андрей Викторович
научный руководитель, учитель математики МБОУ СОШ № 89 МО
РФ, г. Краснодар
Актуальность темы. В последнее время использование мотивов различных паркетов в одежде, аксессуарах, дизайне жилища, строительстве зданий является последним «писком» моды. Математическая теория паркетов имеет свое практическое применение: знание её основ будет полезно дизайнерам, строителям, людям, увлекающимся народными ремёслами. Поэтому актуальность данной работы не вызывает сомнения.
Целью данной работы является разработка принципов построения сложных паркетов и создание эскизов паркетов из симметричных фигур с помощью геометрических преобразований плоскости.
Геометрические паркеты.
Понятие паркета в геометрии тесно связано с процессом замощения плоскости.
Паркет – замощение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий, в котором любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек [4].
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами.
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами [5].
Рассмотри некоторые виды геометрических преобразований плоскости.
1. Центральная симметрия – это геометрическое преобразование плоскости, при котором точка А переводится в некоторую точку А1, так, что О – середина отрезка АА1. В этом случае говорят, что О – центр симметрии [1].
2. Осевая симметрия – это геометрическое преобразование плоскости, при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Из определения следует, что любой точке соответствует точка, находящаяся на том же расстоянии от оси симметрии [1].
3. Вращательная симметрия – это геометрическое преобразования плоскости, означающее симметрию объекта относительно некоторых собственных вращений [2].
4. Симметрия относительно плоскости – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Зеркально симметричным считается объект, состоящий из двух половин, которые являются зеркальными двойниками по отношению друг к другу. Трехмерный объект преобразуется сам в себя при отражении в зеркальной плоскости, которую называют плоскостью симметрии [2].
Построение паркета с помощью параллельного переноса. Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние.
Построим паркет с использованием параллельного переноса.
Алгоритм построения:
1. Возьмем несколько симметричных фигур.
2. Преобразуем композицию фигур
3. Выполняем параллельный перенос в соответствующем направлении, отмеченном стрелками для каждой из фигуры.
Стрелками указаны направления параллельного переноса для каждой фигуры.
4. Преобразуем получившийся рисунок с помощью параллельного переноса. Получим паркет.
Построение паркета с помощью центральной симметрии.
1. Выбираем несколько центрально-симметричных фигур, разных по цветовой гамме, имеющих одинаковую длину сторон и составляем рисунок;
Правильный шестиугольник: | Ромб: |
2. Составляем с помощью табличного процессора Microsoft Excel рисунок, используя графические возможности;
3. Выбираем центр симметрии и строим симметричную фигуру относительно центра О;
4. Преобразуем с помощью зеркального отображения, получившийся рисунок;
Подвергаем параллельному переносу и получаем новый паркет.
Построение паркета с помощью осевой симметрии и зеркального отображения.
1. Построим центрально симметричные фигуры:
2. Из числа выбранных, одинаковых по размеру центрально-симметричных фигур, но разных по цветовой гамме составляем рисунок в табличном процессоре Microsoft Excel ;
3. Отображаем фигуру относительно оси симметрии L.
4. Преобразуем получившуюся фигуру с помощью осевой симметрии относительно центра О.
5. Преобразуем полученную фигуру относительно горизонтальной оси симметрии, получаем новый паркет.
В работе над данной темой мы: расширили свой математический кругозор, изучили основы построения паркетов из различных геометрических фигур, с помощью геометрических преобразований, разработали на примере центрально-симметричных фигур собственные паркеты и реализовали их табличном процессоре Microsoft Excel.
Чтобы выяснить, насколько интересна учащимся выбранная тема, мы провели конкурс геометрических паркетов среди 62 учеников из МБОУ СОШ №89 в рамках изучения темы «Центральная и осевая симметрия».
Процесс выполнения исследования и полученные результаты доказывают значимость проделанной работы, а она заключается в следующем:
1. закреплены имеющиеся теоретические знания, найдена их практическая реализация;
2. использование результатов проведения математического анализа возможно в различных областях;
3. синтезированы знания, полученные в ходе работы, теоретические знания из курса геометрии, которые должны помочь при применении данных технологий в укладке паркета.
Материалы работы будут полезны и интересны на уроках математики при изучении тем: «Правильные многоугольники», «Центральная симметрия», «Осевая симметрия», «Геометрические тела», а также их можно использовать на уроках изобразительного искусства и черчения.
Список литературы:
- Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников. Журнал “Квант” № 3, 1970 г.
- Математика. 6 кл.: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – 3-е издание., стереотип. – М.: Дрофа, 2015. – 319, [1] c. : ил.
- Скопец З.А. Геометрические миниатюры./ Скопец З.А. М.: 1990.
- Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985, стр. 200–201. .
sibac.info
французская елка, плетенка, квадрат, палубная укладка, фото разных узоров и схем выкладки деревянного паркета, их сравнение
Самые популярные способы укладки паркета – это так называемая «классическая геометрия». Узоры не сложные, выкладываются из прямоугольных планок, иногда с добавлением квадратов или треугольников. Сюда относится палубная укладка, французская и обыкновенная елочка, плетенка и т.д.
В свою очередь каждый тип рисунка может иметь несколько разновидностей. В этой статье мы постараемся охватить самые популярные варианты, рассмотрим достоинства и недостатки каждого способа укладки.
Варианты укладки паркета: классическая геометрия
«Классическая геометрия» представляет собой довольно простые способы укладки штучного паркета, и любую из схем, к ним относящихся, вы можете легко выполнить своими руками. Более сложные рисунки относятся к «художественным» и паркет для них вырезается только на заказ, поэтому далее мы о них упоминать не будем.
Елка, классическая и французская
Укладка паркета елочкой – способ очень популярный и известный уже очень давно. Попробуйте вспомнить все виденные ранее узоры: наверняка преобладать будет именно паркет-елочка. Такая распространенность рисунка связана с тем, что его создание не требует идеальных по качеству планок. Кроме того, здесь не критично направление укладки относительно окна.
Паркет – елка, классический. Одна из самых распространенных схем
Также часто используется такой геометрический паркет, как двойная елка. Принцип ее укладки очень схож с одинарной, но тут в каждом направлении идет сразу два элемента. Этот вариант елки хорош, если паркет имеет в своем составе планки радиального и тангенциального распила одновременно. Укладывая их по парам, вы сможете добиться интересного цветового эффекта, который дает текстура дерева.
Рисунки паркета: двойная елка
Французская елка обладает теми же характеристиками и преимуществами что и классический вариант раскладки паркета. Она так же может быть одинарной и двойной. Однако в некоторых случаях такой вид елки имеет существенный минус. Как вы видите, планки тут не просто укладываются одна к другой, как в предыдущих схемах елки.
Каждая из них имеет форму параллелепипеда с двумя острыми углами в 45 градусов. И вам придется либо заказывать штучный паркет, оптимизированный под такой рисунок, либо обрезать каждую планку самостоятельно. В первом случае вы теряете время на поиск такого паркета, который, к тому же может стоить дороже. Во втором – потеря времени на обрезку, плюс получается больший расход материала.
Французская елка. Паркет красивый, но не очень простой в укладке
Палубная укладка
Палубной укладкой называется рисунок, в котором все планки идут в одном направлении. Этот способ самый простой из всех и требует минимальных навыков в работе. Кроме того паркет, уложенный палубным узором, подойдет для комнаты, оформленной в любом стиле, от классики до хай-тек. И еще один веский аргумент в пользу такого рисунка – это очень маленькое количество отходов при укладке.
Обратите внимание: как и елка, палубный рисунок имеет несколько разновидностей. Самый распространенный из них – разбежка. Планки выкладываются с нерегулируемым смещением. Собственно, отсутствием этого самого регулирования способ и хорош: работа ведется довольно быстро, постоянных замеров не требуется. Кроме того, здесь можно использовать планки, немного отличающиеся по длине – этого не будет заметно.
Палубный узор — разбежка
Упорядоченные виды палубного узора паркета – раскладка со смещением на определенное расстояние. Это может быть 30 или 50% от центра каждой предыдущей планки. Смотрятся такие узоры очень интересно, однако работа подразумевает частые замеры для того, чтобы не произошло изменений в степени смещения. Вид укладки паркета на фото – смещение на 50%.
Схема паркета на фото – палубная, со смещением 50%
Шахматный узор и плетенка
Так же, как и двойная елка, шахматная схема может быть очень эффектной. При компоновке в разные квадраты планок одного распила, паркет станет похож на шахматную доску, где чередуются темный и светлый цвета. Минус этого рисунка – он годится только для укладки в комнатах с большой площадью. Квадрат получается довольно крупный, и в маленьком помещении он может визуально «съесть» несколько метров.
Узор шахматный
Плетенка – это уже довольно сложный вариант. Для его выполнения потребуется распилить некоторое количество планок на квадраты. Конечно, придется немного повозиться, но ничего, требующего присутствия специалиста в этой работе нет. Выкладка плетенки делается по диагонали или вдоль комнаты. Первый вариант смотрится намного лучше, однако будьте готовы к тому, что потери материала при подрезке составят около 20%.
Рисунок «плетенка»
setroom.ru
Штучный паркет: самый красивый рисунок
Поделиться с Друзьями:
Вы точно решили, что на Вашем полу будет лежать паркет, но не определились с геометрическими узорами и раскладками?
Тогда эта статья для Вас, ведь здесь мы рассмотрим, каким образом можно уложить штучные деревянные планки.
Методы укладки паркета
Для начала отметим, что на сегодняшний день существует 2 популярных способа укладки паркета:
- Плавающий метод, предполагающий крепление паркета исключительно с помощью замкового соединения. Планки могут беспрепятственно расширяться и сужаться, а пол легко и просто ремонтировать в течение всего срока эксплуатации;
- Клеевой метод. Прочный и надежный способ крепления. Применяется преимущественно в помещениях большой площади. Иногда дополнительно используются еще и крепежные элементы – гвозди, скобы и пр.
Выбор рисунка паркета
Сплошное полотно на полу из отдельных дощечек, монолитное или с контрастными вставками, должно гармонировать с окружающим пространством, радовать глаз и быть приятным лично для Вас.
Существует множество способов укладки, и вот самые известные из них.
Елочка
Самый распространенный и узнаваемый вариант укладки паркета. Можно разложить планки под углом 90° или 45° относительно стен, получая диагональную или прямую раскладку. Дощечки могут быть одинаковой или разной длины. Различают одинарную, двойную, тройную и даже четверную укладку паркета «ёлкой».
Английская ёлка – чрезвычайно популярная в советское время раскладка паркета, которая применялась в Европе еще в XVI веке. При соблюдении всех правил монтажа такое покрытие очень устойчивое, ведь в этом случае нагрузка на него распределена равномерно.
Французская ёлка придает паркету изящный оригинальный внешний вид. Именно такой способ применялся во дворцах старинной Франции, начиная с XVII века. Видимо, поэтому сейчас так модно искусственно старить подобное покрытие. Кстати, для укладки планок французской ёлочкой производят специально предназначенный для этого способа паркет.
Современное предложение позволяет укладывать покрытие в классическом или увеличенном варианте. Штучный паркет «ёлка» обычно крепится на клей.
Палубный
Палубный метод, или «разбежка» – довольно простой вариант, который в значительной мере влияет на восприятие размеров помещения. Существует прямая и диагональная укладка, со смещением и в разбежку, двойная, тройная и другие варианты.
Данный способ очень экономичный. Красиво смотрится такая раскладка, когда дощечки имеют неоднородный цвет, но тут важно правильно расположить планки.
Квадраты
Учитывая, что паркет «квадратами» разбивает пол на явные сегменты, необходимо грамотно скомпоновать рисунок. Вариантов раскладки квадратами не мало, она может быть прямой и диагональной, простой («вьетнамка») и сложной («колодец»), из разного количества планок.
Эффектно выглядит паркет с контрастными вставками, с различными декоративными деталями. Если же стоит задача объединить интерьер, используют монохромные дощечки с неявно выраженной текстурой.
Плетенка (мозаика)
Эта раскладка перекликается с квадратом и имеет те же свойства. Выглядит более изящно, но набирает массивность с увеличением количества плашек в сегменте. Ажурный узор паркета «плетенка» довольно сложен в исполнении и требует от мастера достаточного опыта.
Рисунок просит использования нескольких видов древесины на полу, вставки контрастных элементов, возможно даже с отдельным узором. Интересный мотив, имеющий приятный ритм, хорошо смотрится и в нарядных залах, и в обычной гостиной.
Ромб и Шереметьевская звезда
Оригинальный и эффектный узор, в основе которого лежат шестигранники или, как их еще называют, пчелиные соты. Применяя различные оттенки, можно добиться объёмной оптической иллюзии.
Часто «ромбом» выкладывают не всю площадь помещения, а выделяют центр или определенные зоны, так паркет выглядит более «спокойным».
Художественный паркет
Фигурный паркет в виде розеток, различных орнаментов и картин украшает помещение, делая его нарядным, торжественным и праздничным. Конечно, такой декор требует соответствующих размеров комнаты.
Художественный паркет может быть выполнен по всей площади комнаты, но чаще присутствует локально. Такие вставки изготавливаются в цехах, доставляются на объект и собираются на месте.
Выбирая рисунок своего паркета, помните, что радовать Вас он способен долгие годы и десятилетия. Доверяйте своему вкусу. Если сомневаетесь, отдайте предпочтение классическим узорам, проверенным временем и никогда не выходящим из моды.
В Вашем доме или квартире монтирован паркет? Расскажите нам в комментариях, какой вид укладки использовали Вы!
toppols.ru
Замощение (геометрия) — Википедия
Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.
Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере>>>, гиперболической плоскости>>>, в трёхмерном и многомерном пространстве.
Замощения, мозаики, паркеты, разбиения[править | править код]
Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling), разбиениями плоскости (англ. partition), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.
На странице 16 книги Грюнбаума и Шепарда[en] «Tilings and Patterns» (1987)[2] находится следующее примечание:
В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение.
Оригинальный текст (англ.)
In mathematical literature, the words tessellation, paving, mosaic and parquetting are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung and Zerlegung. The French words are pavage, carrelage and dallage. The Russian words are паркетаж, разбиение and замощение.
Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).
Покрытия и упаковки[править | править код]
Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.
Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).
Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой[2][3].
Ромботришестиугольный паркет 3.4.6.4
Двойственный паркет V3.4.6.4
Протоплитки[править | править код]
Протоплитки паркета (англ. prototiles, также прототипы[4]) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток[5].
Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.
Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток[2][4].
Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников[6].
3.4.4.6
3.4.6.4
Конфигурации вершин и граней[править | править код]
Ромботришестиугольный паркет[en] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 36. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4[4][7][8][9][10].
В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.
Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках[2] или с префиксом V.
Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a1.a2….ak, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va1.a2….ak. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4 (англ.), записываются как V3.4.6.4.
Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино[11]), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п.[2][4].
Паркеты на плоскости[править | править код]
Правильные паркеты[править | править код]
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет[9][12][13].
| Правильные паркеты | |||||||||
Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами[14].
Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.
Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}[6].
Полуправильные паркеты[править | править код]
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (англ. semiregular tilings) или архимедовыми паркетами[9][15][16][17].
Существует 8 полуправильных паркетов[7][10][12][16][17]. Один из восьми полуправильных паркетов (курносый тришестиугольный паркет) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением[4][7][16][17].
| Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты) | |||||||||
Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.
Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.
Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.
Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» (англ. Archimedean tiling) и «однородный паркет» (англ. uniform tiling): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными[2].
В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.
Квазиправильные паркеты[править | править код]
Квазиправильный паркет (или многогранник) (англ. quasiregular tiling) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа[18][19][20].
На Евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета (сферических многогранника) — кубооктаэдр и икосододекаэдр.
На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида p.q.p.q,{\displaystyle p.q.p.q,} где 1p+1q<12.{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}.}
Неоднородные паркеты[править | править код]
Существует бесконечное множество неоднородных (англ. non-uniform) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.
| Неоднородные паркеты из правильных многоугольников | |||||||||
| |||||||||
Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n — n-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов[2][9][21].
Непериодические паркеты и апериодические множества плиток[править | править код]
Непериодическая мозаика P3, впервые опубликованная Р. Пенроузом в 1978 году[2][22]. Ромбы Пенроуза с выступами и впадинами, обеспечивающими невозможность периодического покрытия без использования цветных плиток и линий[23].Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим[4].
Первый пример апериодического множества плиток был найден Робертом Берджером[en] в 1966 году и включал в себя 20 426 плиток Вана[2][24]. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.
Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток[2][23][25].
В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из единственной плитки[en], которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением не касающихся друг друга плиток[26]. Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся топологическим диском. Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой[26][27].
Шестиугольный диэдр
Шестигранный осоэдр
Сферические многогранники[править | править код]
Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов[28].
Каждому из 5 платоновых тел соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть S — сфера с центром O, совпадающим с центром многогранника P. Проведённые из O лучи, проходящие через вершины многогранника P, пересекают сферу S в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника P соответствуют дугам больших кругов на S.
Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками, и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.
Правильный семиугольный паркет порядка 3 в модели Пуанкаре на дискеГиперболические паркеты[править | править код]
Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна, конформный диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на полуплоскости[29].
На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим додекаэдром), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.
ru.wikipedia.org